в.н.с., к.ф.-м.н. О.А. Логвинов

Классическая теория гидродинамической устойчивости восходит к работам Кельвина и Гельмгольца. Однако наиболее ясно её задачи можно понять на основе экспериментов Рейнольдса. Рассматривая течения вязкой жидкости в круглой трубе, Рейнольдс обнаружил, что при определённых условиях первоначально спокойный и слоистый поток (называемый ламинарным) турбулизуется – в жидкости начинается резкое перемешивание между слоями. Безразмерный критерий, указывающий на возможное наступление турбулентности, называется теперь числом Рейнольдса. Число Рейнольдса определяется как отношение произведения скорости на радиус трубы к кинематической вязкости жидкости. При превышении критерием Рейнольдса некоторого значения (порядка нескольких тысяч) наступает переход к турбулентности. Однако точное значение критерия перехода оказалось чрезвычайно чувствительным к внешним условиям.

Таким образом, основную задачу классической теории гидродинамической устойчивости можно сформулировать следующим образом: при каких условиях данный ламинарный поток теряет устойчивость и становится ли он в этом случае турбулентным или переходит в ламинарное течение другого вида (возможно, нестационарное). Для анализа линейной устойчивости выбранного течения, то есть устойчивости по отношению к малым возмущениям, разработан специальный метод нормальных мод, включающий несколько этапов. На первом этапе исходные нелинейные уравнения движения линеаризуются около основного (невозмущённого) течения, затем выбираются возмущения определённого вида (как правило, экспоненциально растущие или затухающие по времени). На заключительном этапе исследуется, при каких условиях данные возмущения будут расти. Если хоть одно частное возмущённое решение (мода) будет неограниченно расти во времени – течение считается линейно неустойчивым.

Важным выводом теории гидродинамической устойчивости является то, что не любые течения, пусть даже они и являются точными решениями уравнений гидродинамики, реализуются в природе. Для того чтобы данное течение действительно имело место соответствующее решение должно быть устойчивым. При этом в природе встречаются самые разные виды неустойчивостей, под которыми в общем случае понимается резкая смена характера течения, турбулизация потока, переход в нестационарный режим, искривление межфазной границы.

Можно выделить, например, известные неустойчивости Кельвина – Гельмгольца, Рэлея – Тейлора или Саффмана – Тейлора, неустойчивость Рихтмайера – Мешкова.

Исторически первой детально изученной неустойчивостью была неустойчивость, связанная теперь с именами Кельвина и Гельмгольца. Рассмотрим два бесконечных горизонтальных потока идеальной несжимаемой жидкости (один над другим) с различными скоростями и плотностями. Можно показать, то подобный сдвиговый поток быстро теряет устойчивость – малые возмущения границы раздела начинают экспоненциально расти. Типичные примеры подобной неустойчивости – образование волн на воде под действием ветра или облачных структур в атмосфере (Рис. 1). Несмотря на то что плотность воздуха на три порядка меньше плотности воды, ветер поднимает волны конечной амплитуды за счёт развития неустойчивости.

Круг вопросов, которые ставит перед собой современная теория гидродинамической устойчивости, достаточно широк – влияние неньютоновских свойств жидкостей на переход к турбулентности, образование вторичных неустойчивостей, устойчивость многофазных течений. Отдельной и сложной дисциплиной стала теория нелинейной устойчивости, в которой возмущения основного потока не считаются малыми. Также рассматриваются вопросы немодальной устойчивости, когда асимптотически устойчивое (на бесконечных временах) решение может демонстрировать резкий, но конечный рост на начальном этапе. Подобный кратковременный рост может оказаться достаточным для турбулизации всего потока. Анализ подобной неустойчивости является перспективным современным направлением.

Литература:

1. Гольдштик М. А., Штерн В. М. Гидродинамическая Устойчивость и Турбулентность. 1977. Издательство Наука.
2. Drazin P. G., Reid W. H., Hydrodynamic Stability. 1981. Cambridge University Press.